谈谈对函数单调性的一点理解

数学组  李  英

【摘要】 函数的单调性是函数的最基本最重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。函数的单调性是一种重要的工具，在高考中占有一定的地位，本课题从函数单调性的概念入手，主要介绍函数的单调区间，深入探讨运用函数单调性的定义解决具体问题的方法，能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性，联系实际分析单调性在解决实际问题中的重要作用，因此研究函数单调性具有理论意义和现实意义。

【关键词】单调性；解决实际问题；联系实际

函数是高中数学的核心内容，是高中数学的主线，贯穿中学数学的始终。可以简单地理解为在整个中学阶段我们一直在学函数。而函数的单调性是函数的最基本最重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。函数的单调性刻画了函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势（当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降）。函数的单调性架起了自变量和函数值沟通的桥梁，把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系起来，描述了函数的变化过程和趋势，它反映了函数值从哪来到哪去。

函数的单调性这一性质学生在初中函数中其实曾了解过，但只是从图像上直观观察图像的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它，它这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。函数单调性的证明是学生在函数内容的学习中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，大部分学生甚至还搞不清什么是代数证明，更没意识到它的重要性，所以单调性的证明自然是教学中的难点。

在函数的单调性这节课教学中，就我个人经验而言，我认为不太可能用一节课的时间，仅仅40分钟的时间，就能把单调性的概念和单调性的证明全教给学生，即使老师在课堂上把这些讲解完，重难点没突出来，学生有可能什么都没学到，。因为在最初的教学中，我用了一节课的时间把单调性的概念及其证明讲解完，发现许多学生没什么反应，或是更迷惑了。课下我经过深深反思，在另外的一个班的教学中，我做了以下的安排，我把这节课的教学任务分成两课时来完成，第一课时先讲单调性的概念，第二课时再讲单调性的证明。在讲单调性的概念时，我事先做了课件，我先让学生观察本县的某一天的24小时内的气温变化图（利用本县的实例首先能引起学生的兴趣），再设置问题如气温随着时间是怎样变化的等等。同学们依据图像回答的很好，趁着热情，我又依据他们所熟悉的一次函数和二次函数图像进行了类似地提问。接着我让同学们打开课本观察图2-16，提问函数值随着自变量的增大是如何变化的，大家经过讨论回答准确。自然而然地我引入了函数单调性的概念，并且通过举例重点说明在定义域的某个字区间内取的两个自变量是任意的，而不是其中的两个取值，多次重点强调自变量的任意性和函数的单调性是局部性质。在教学中，有的学生提出来疑问：教材中又用大段的文字来讲述单调性的概念，感觉有点重复。事实上，不是重复，而是有的函数的定义域只能写成集合而不能写成区间，比如说这时的函数图像是由一些离散的点而不是连续的曲线构成的，但它也具有单调性。通过讲解反比例函数的例题时，再一次给同学们强调说明函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，是一个局部的性质，并且在考察单调性时，必须先看函数当定义域，一般情况下，如果一个函数有多个递增或递减区间，这些单调递增或递减区间之间应该用”,”隔开，而不能用并集符号连接。另外老师要给同学们讲清楚什么情况下函数才是单调函数。总之，第一节课一定要把单调性的概念讲清楚讲透彻，抓住重点。在讲解单调性的证明时，举例时应该举简单的大家熟悉的例题，比如说先举一次函数，再举二次函数，三次或四次函数。老师要先亲自板演一次函数的单调性证明，给同学们做个示范，总结单调性的证明步骤，最主要注意代数式的变形，告诉他们变形到什么时候最合适。要不然有的学生不知道步骤怎么写，代数式不知道变形化简，就会乱写，不能抓住要点。在教学过程中，与学生互动，找学生在黑板上练习单调性的证明，了解同学们对证明步骤的掌握到了什么程度。

本文先引入实例重点讲解函数单调性的概念，再通过例题突破单调性的证明这个难点。运用数形结合的学习方法，培养学生的学习兴趣，培养学生的独立思考能力，动手实践能力。以上是我在教学中的一点拙见，一点经验。感谢各位批评指导。